La loi binomiale…

#14 … la loi de probabilité qui aime les succès !

Bonjour à tous 👋🏻

Les deux dernières éditions étaient sur les probabilités.
Et bien, nous allons continuer de découvrir ce domaine très important pour la data.
Dans cette 14ème édition, je vais vous parler d’une loi de probabilité classique :

la loi binomiale

Mais avant ça, arrêtons-nous un instant sur les variables aléatoires et la loi de Bernoulli.
Sortez une feuille et un crayon, je vais vous faire écrire 😇

(À la fin de la page, il y a une info qui pourrait bien vous intéresser !)

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Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?

Les probabilités étudient les phénomènes aléatoires, c’est-à-dire dont l’issue est incertaine.
Comme un lancer de dé. 🎲

Chaque issue a une probabilité de se réaliser.
La probabilité d’obtenir 1 est de 1/6 (si le dé n’est pas truqué 😇).

Maintenant, si je lance deux dés, et que je m’intéresse à la somme des deux nombres affichés par les dés ?

👉🏻 Le résultat de cette somme va varier selon les lancers, et elle est liée au caractère aléatoire du lancer de dés.

C’est donc une variable aléatoire ! 💁🏻‍♀️

✅ Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.

Dans notre exemple, quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire ?
✏️ Je vous laisse écrire sur votre feuille.

Les valeurs possibles sont :
au minimum, 2 (si les deux dés tombent sur 1)
et au maximum, 12 (si les deux dés tombent sur 6).
Elle prend donc une valeur entière entre 2 et 12.

Loi de Probabilité

En associant à chaque valeur de la variable aléatoire, la probabilité d’obtenir cette valeur, on obtient la loi de probabilité de la variable.

👉🏻 Exemple pour le lancer des deux dés.
On note X la somme des deux résultats des dés.

Et pour P(X=3) ?
Quels sont les possibilités ?
Je vous laisse y réfléchir !

Pour X=3, il y a 2 possibilités.
Soit le 1er dé tombe sur 1 et le 2ème tombe sur 2 (proba de 1/6 fois 1/6).
Soit l’inverse, le 1er dé tombe sur 2 et le 2ème sur 1 (proba de 1/6 fois 1/6).

En fait, P(X=3) = 2 x 1/36

P(X=4) ?
On a 3 possibilités ( 2 + 2, 1+3, 3+1 )
Donc P(X=4) = 3/36

✏️ Essayez de le faire pour X=5 et X=6.

Voici les résultats 👇🏻

✅ En continuant jusqu’à P(X=12) on obtient la loi de probabilité de X.

Il existe plusieurs lois de probabilité, chacune faite pour modéliser un certain type de situation aléatoire : un pile ou face, une suite de lancers de dés, ou même le nombre de messages reçus par minute.

Loi de Bernoulli

🪙 Prenons le pile ou face.

La situation est simple : il y a un échec, un succès.
Disons que l’on veuille obtenir face.
face = succès ✅
pile = échec. ❌

Sa loi de probabilité, c’est la loi de Bernoulli de paramètre p : la probabilité d’avoir un succès.

Si la pièce n’est pas truquée, p = 1/2.
Si la pièce est truquée de tel sorte que l’on a 2 fois plus de chance de tomber sur pile, alors p = 1/3. Et dans ce cas, la probabilité d’échec est 1-p = 2/3

✅ La loi de Bernoulli modélise une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles : un succès (valeur 1) ou un échec (valeur 0).

Une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli si P(X=1)=p et P(X=0)=1-p

👉🏻 Elle répond à la question : “Quelle est la probabilité d’avoir un succès ?”

Faisons 3 lancers et intéressons-nous à la question :
“Quelle est la probabilité d’avoir 2 succès sur mes 3 lancers ? “

Loi Binomiale

C’est avec la loi Binomiale que nous allons pouvoir répondre à cette question.

✅ Elle s’utilise dans la situation suivante : 
→ On a une suite de n expériences aléatoires identiques. 
→ Les résultats de ces expériences suivent la même loi de probabilité de Bernoulli de même paramètre p. 
→ Ces résultats sont indépendants.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de succès.

X suite une loi Binomiale de paramètres n et p.

On pourrait représenter notre exemple de 3 lancers successives d’une pièce truquée par un arbre. (1 chance sur 3 d’avoir face)

✏️ Essayez de compléter l’arbre et de calculer la probabilité d’avoir 2 succès.

Pour trouver la probabilité d’avoir 2 succès, on repère les branches qui comportent 2 succès.

On calcule la probabilité d’une branche.
Vu qu’il y a 2 succès et 1 échec, la probabilité sera 1/3 x 1/3 x 2/3 donc 2/27

On multiplie cette probabilité par le nombre de branches concernées.

P(X=2) = 2 x (1/3)^2 x (2/3)

Mais si on a 10 lancers ?

Ça devient compliquer de faire l’arbre de probabilité.
Heureusement, il y a une formule.

Le “k parmi n” est une notion de dénombrement.
C’est le nombre de possibilités de choisir k objets parmi n objets.
Ou ici, k lancers (qui sont des succès) sur les n lancers.

Ceci s’appelle une combinaison ou encore un coefficient binomial.
Je vous ferai peut-être une édition sur le dénombrement. 😉

Vous avez toujours votre feuille et votre stylo ?
✏️ C’est parti pour un exercice.

Exercice

On considère un jeu où l'on tire une carte dans un paquet de 52 cartes.
La carte est remise dans le paquet après chaque tirage.
On note p la probabilité de tirer un cœur.

1. Que vaut p ?

On effectue 10 tirages successifs.
On note X le nombre de fois où l'on tire un cœur.

2. Quelle est la loi suivie par X ?

3. Quelle est la probabilité de tirer 3 coeurs sur les 10 tirages ?

Les réponses :

1. p = 1/4 car il y a 4 couleurs possibles coeur, carreau, trèfle ou pique.

2. X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 1/4
Les tirages sont bien indépendants puisque l’on remet la carte à chaque fois dans le paquet.

3. P(X=3) = (3 parmi 10) x (1/4)^3 x (3/4)^7

Une info qui pourrait bien vous intéresser !

Déjà, merci à tous d’être abonnés à cette newsletter.
C’est toujours un plaisir d’écrire sur les maths pour vous 😉

En 2025 je vais sortir une nouvelle version de mon programme de remise à niveau en maths pour la data : Parcours Maths. 

Je ne sais pas quand exactement, mais si ça vous intéresse vous pouvez vous inscrire ici pour être au courant et surtout bénéficier d’une belle promo de lancement, plus intéressante que celle qui sera publique 🤩
C’est par ici : “je veux être au courant”.

Dernière nouvelle :
Certains se sont inscrits pour avoir des nouvelles sur un cours d’algèbre linéaire.

J’ai dû faire une pause mais je me suis remise dessus ! Le projet est donc bien lancé et il sortira en 2025 aussi.
Je vous mets aussi le lien si vous voulez être tenu au courant.

PS : en vous inscrivant à ces listes de mails, vous ne recevrez rien d’autre que ce qui concerne ces 2 projets !

Merci de votre patience 😇
Et en attendant, on se retrouve ici pour faire des maths tout en douceur.

À bientôt ! 👋🏻