Dénombrement...
#15 ... ou comment compter un peu mieux que sur les doigts.
La première chose que l’on apprend en maths, c’est compter !
Poing fermé, on déplie le pouce “UN”, puis l’index, “DEUX”, le majeur “TROIS” etc.
On nous présente une image avec des poissons 🐠 et des chats 🐱 , et c’est parti, il faut compter les poissons.
On observe, on s’applique et on déroule nos nombres appris par coeur : 1, 2, 3, 4…
Nous voilà sachant compter !
Et bien, dans cette édition de la Pause Maths, nous allons compter !
Plus exactement, on va parler d’une branche des mathématiques appelée le dénombrement.
L’idée est simple : on veut compter des objets. Pourtant ça va être un peu plus complexe que l’histoire de nos poissons.
Pour cela, rendons-nous au restaurant. 🍽️
5 amis au restaurant.
Un groupe de 5 amis débarque au restaurant. Le serveur leur montre leur table avec 5 chaises. Tout le monde doit s’asseoir.
Jusqu’ici rien d’étonnant.
Mais voici la question : combien y a-t-il de plans de table possibles ?
👉🏻 Nous voilà au coeur du problème : nous voulons compter le nombre de possibilités pour que ces 5 amis s’assoient autour de cette table.
Le terme mathématique est “permutations”.
Combien de permutations sont possibles ?
Les permutations.
Pour faciliter le raisonnement, numérotons les 5 chaises.
👉🏻 Combien y a-t-il de possibilités pour la chaise 1 ?
Il y a 5 possibilités, puisque chacun des 5 amis pourrait s’y asseoir.
Quelqu’un se met sur la chaise 1. 🪑
Maintenant : il y a combien de possibilités pour la chaise 2 🪑 ?
Il ne reste plus que 4 personnes, donc 4.
✋🏻 Arrêtons-nous 2 secondes.
Si chaque choix ouvrait un monde parallèle, combien de mondes aurions-nous à ce stade ?
La première personne peut ouvrir 5 mondes, et dans chacun de ces mondes, la 2ème personne peut en créer 4.
On a 5 x 4 = 20 mondes possibles.
Autrement dit, 20 possibilités différentes pour que les 2 premiers amis s’asseyent.
Continuons :
🪑 Chaise 3 → il reste 3 personnes
🪑 Chaise 4 → il reste 2 personnes
🪑 Chaise 5 → plus le choix, la dernière personne doit s’y mettre.
Il y a donc 5 x 4 x 3 x 2 x 1 possibilités. C’est-à-dire 120 permutations possibles.
Le symbole factorielle.
Faisons un détour sur un symbole mathématique qui va nous être bien utile.
Pour rappel, chaque symbole mathématique permet de simplifier l’écriture.
Et oui ! Ce n’est pas pour nous embêter, bien au contraire ! 😇
Par exemple :
👉🏻 Au lieu d’écrire 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 nous pouvons écrire 2 x 6 grâce au signe de la multiplication.
👉🏻 Au lieu d’écrire 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 nous pouvons écrire 2^7 grâce au signe de la puissance.
Dans la même idée :
1 x 2 x 3 x 4 x 5 peut s’écrire : 5! (dit '“5 factorielle”)
On utilise bien un point d’exclamation.
De manière générale :
n!= 1 x 2 x 3 x ... x n
Regardons si vous avez bien compris.
Que vaut 3! ?
On a : 3! = 1 x 2 x 3 = 6.
Revenons à notre histoire de table au restaurant.
Nous avions 5 x 4 x 3 x 2 x 1 possibilités soit : 5! possibilités.
💁🏻♀️ Pour la suite, vous verrez que cette écriture va nous aider à écrire des formules plus simplement.
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Les arrangements.
Les arrangements, c’est un peu comme compter les permutations, sauf que cette fois il y a moins de chaises que d’amis.
👉🏻 Disons qu’une table de 3 places est libre, et que le groupe décide de se diviser.
🪑 Chaise 1 → 5 personnes possibles
🪑 Chaise 2 → 4 personnes possibles
🪑 Chaise 3 → 3 personnes possibles
Il y a donc 5 x 4 x 3 possibilités, soit 60 façons pour le groupe de choisir 3 personnes et de s’asseoir à cette table.
✏️ Comment écrire cela avec la factorielle ?
Prenons n objets et un arrangement de k objets.
Dans notre histoire, ça serait n amis, et une table de k chaises.
Au début, on a le choix parmi n objets.
Après en avoir choisi 1, il nous reste n-1 objets possibles.
Et pour le dernier choix, nous avons le choix entre n-k+1 objets.
En tout, nous avons : n x (n-1) x (n-2) x …x (n-k+1)
Pour faire un arrangement de 3 personnes parmi 5, il y a 5 x 4 x 3 possibilités.
Ce que nous pouvons écrire : 5! / 2!
En effet :
Le cas général est :
⏪ Revenons en arrière :
Les amis sont devant le serveur et ils décident que 3 d’entre eux iront à la table de 3.
👉🏻 Maintenant nous voulons savoir combien il y a de possibilités pour choisir ces 3 personnes.
Dans ce cas, on ne prend pas en compte le placement à table.
Mathématiquement, on dit qu’on ne prend pas en compte l’ordre, contrairement aux arrangements.
C’est ce qu’on appelle une combinaison.
La combinaison.
La combinaison, c’est presque comme un arrangement, mais on ne s’occupe pas des permutations possibles des 3 personnes quand ils devront choisir leurs chaises.
C’est donc : le nombre d’arrangements possibles divisé par le nombre de permutations possibles.
👉🏻 Dans la dernière édition sur la loi binomiale nous avions parlé de “k parmi n”, c’est en fait une combinaison.
👉🏻 Avec la loi binomiale, puisque l’on calcule la probabilité d’avoir k succès, l’idée est de choisir k expériences parmi les n expériences réalisées qui seront les expériences avec un succès, peu importe l’ordre.
On fait bien le calcul d’une combinaison de k parmi n.
Je vous laisse lire cette édition si ce n’est pas fait. 😉
Pour résumer :
Permutation : ✅ tout le monde + ✅ ordre pris en compte
Arrangement : ❌ pas tout le monde + ✅ ordre pris en compte
Combinaison : ❌ pas tout le monde + ❌ ordre pas pris en compte
Je ne vais pas vous laisser sans un petit exercice ! 😇
Exercice :
Une équipe de 7 personnes doit choisir, parmi elles, un comité de 3 membres pour organiser un événement. Combien de façons différentes peut-on choisir ce comité ?
(On se retrouve en commentaire !)
À bientôt ! 👋🏻